어른들을 위한 수학 〈15〉 내 안에 또 다른 나, 프랙털 이야기 : 월간조선

우리나라 남해안의 해안선 길이는 얼마일까? 1975년 프랑스 수학자 만델브로트(Benoit B. Mandelbrot) 박사가 영국의 리아스식 해안선의 길이가 얼마인가를 알아보기 위해 여러 방법으로 측정을 시도하였다. 그는 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라지는 것을 발견했다. 〈그림1〉의 남해안 왼쪽 그림에서 해안선의 길이를 측정하기 위해 사용한 자와 오른쪽 그림에서 해안선을 측정한 자의 한 눈금의 크기는 6배가 차이 난다.

우리는 눈으로만 비교해도 오른쪽 해안선의 길이가 더 길게 측정되는 것을 알 수 있고, 측정하는 자의 최소단위가 무엇이냐에 따라 해안선의 길이는 무한대로 늘어날 수 있음을 알 수 있다.

만델브로트는 이 연구를 통해 해안선의 모양처럼 전체 모양과 부분의 모양이 비슷하게 반복되는 구조들에 대해 탐구하기 시작하였고, 해안선처럼 기본 구조가 계속 부서지고 쪼개져 닮은 형태가 계속 만들어지는 모양을 ‘부서진 상태’ 혹은 ‘쪼개다’라는 뜻을 가진 라틴어 ‘프랙투스(frāctus)’에서 이름을 따와 ‘프랙털 (fractal)’이라 불렀다. 이 프랙털 이론에 의하면 남해안의 해안선 길이는 측정자의 측정단위에 따라 기하급수적으로 길어지게 된다.

프랙털=자기 유사성+순환성

규칙적인 패턴을 파악하여 몇 단계 후의 도형 면적의 합을 구하는 무한 등비급수 문제는 수리영역 시험에 등장하는 단골 기출문제다. 이 문제 속 도형의 특징은 무엇일까? 그림 속 도형은 계속 자신의 크기를 분할하여 자신과 닮은 도형을 그려 나간다. 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이되는 구조, 바로 프랙털 구조인 것이다.

프랙털의 특징은 단순한 구조가 끊임없이 반복되는 ‘순환성(recursiveness)’과 복잡하지만 자기와 비슷한 전체 구조를 만들어 가는 ‘자기 유사성(self-similarity)’이다.

또한 이 반복되어 그려지는 도형의 면적의 합을 구하기 위해서 우리는 극한의 개념을 사용하여 계산하게 되는데 이 또한 위에서 살펴봤던 프랙털 구조 해안선 길이를 측정한 방법과 같은 개념인 것이다.

코흐 곡선과 시어핀스키 삼각형

〈그림2〉

프랙털 도형을 대표하는 코흐 곡선과 시어핀스키 삼각형을 직접 그려 보자.

코흐 곡선은 아래의 작업을 무한 반복하면 된다.〈그림2〉

1. 선분을 3등분한다.
2. 가운데 선분을 삼각형 모양 홈으로 바꾼다.

시어핀스키 삼각형은 도형변환 시스템을 사용하여 그려 보자. 처음에 주어지는 도형은 초기조건이라 하고, 각 단계마다 되풀이하여 적용하는 변환을 반복변환이라고 하자.

시어핀스키의 경우 초기조건이 정삼각형이고 반복변환 명령은 아래와 같다.

주어진 도형을 3개 복사한다.
하나는 크기를 0.5배 해서 제자리에 둔다.
다른 하나는 0.5배 해서 1칸 오른쪽에 둔다.
마지막 하나는 0.5배 해서 0.5칸 오른쪽, 1칸 위쪽에 둔다.
위 과정을 생겨나는 모든 도형에 되풀이하여 적용한다.

초기조건을 시작으로 반복변환을 무한히 적용하여 그리면 다음과 같이 시어핀스키 삼각형을 그릴 수 있다.〈그림3〉

〈그림3〉

프랙털의 차원

프랙털의 차원을 살펴보기 전에 수학적 차원에 대해 정리해 보자. 수학에서의 차원은 공간 내에 어떤 것의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수를 말한다. 즉 점으로만 이루어진 직선은 1차원, 평면은 2차원, 입체는 3차원으로 정의한다. 또한 시간이나 오일러 각도 등을 추가한 3차원 이상의 n차원의 공간을 고려하기도 한다. 즉, 유클리드 기하학에서의 사물은 모두 정수로 표시되는 차원을 가지는데, 프랙털의 차원은 최초로 유클리드 기하학 차원을 확장하여 다른 차원으로 설명했다. 차원을 구하는 공식은 다음과 같다.

여기서 축소율은 등분하여 줄어드는 길이가 되고, 복사본의 개수는 생겨난 닮은 도형의 개수를 뜻한다. 공식의 이해를 돕기 위해 차원의 공식을 이용하여 직선이 1차원임을 증명해 보도록 하자.

길이가 1인 선분이 있다고 하자.

이 선분을 위와 같이 3등분했다면 등분된 선분 하나의 길이는 ⅓이 되어 축소율(r)은 ⅓이 된다. 또한 1개의 선분이 3개의 선분이 되었으므로 복사본의 개수(N)는 3이 된다. 따라서 차원(D)=

=1이다.

직선이 1차원임이 증명되었다.

한 모서리의 길이가 1인 정육면체로 한 번 더 증명해 보자.

정육면체의 한 모서리의 길이를 3등분하면 역시나 모서리의 길이는 ⅓이 되어 축소율(r)은 ⅓이 된다. 또한 정육면체는 1개에서 27개로 늘었으므로 복사본의 개수(N)는 27이 된다. 따라서 차원(D)=

임이 증명된다.

이제 우리는 프랙털 도형의 차원 또한 구할 수 있다. 앞서 살펴본 코흐 곡선이 몇 차원인지 수적인 차원을 구하기 전에 어느 정도의 차원일지를 예상해 보자. 코흐 곡선은 아무리 확대해도 계속해서 들쭉날쭉하므로 1차원인 직선보다는 높은 차원일 것이다. 그러나 곡선이 계속되어도 평면은 아니므로 2차원보다는 낮은 차원일 것이다.

코흐 곡선의 축소율과 복사본의 개수를 살펴보면, 이전 단계의 모양을 3등분하여 닮은 모양을 4개 만들었으니 r=⅓이 되고, N= 4가 된다. 따라서 D=

=1.2619차원이 된다. 이러한 차원을 ‘프랙털 차원’ 또는 ‘하우스도르프(Hausdorff) 차원’이라고 한다. 정리하면 프랙털의 차원은 정수가 아닌 소수 차원인 것이다.

프랙털의 활용① L-시스템

L-시스템은 식물학자인 린덴마이어(Lindenmayer)가 나무의 성장 과정을 모형화하기 위해 처음으로 만든 알고리즘이다. 초기 형상을 다른 형상으로 치환하는 작업을 반복하여 나무의 형태 정보를 생성하는데, 이러한 과정을 절차적 모델링이라 한다. 나무의 성장과정처럼 무한히 증가하거나 복잡한 형태의 것들을 연구할 때 사용되는 방법으로 우리 몸의 혈관이나 뇌의 구조, 산악 지형 같은 것들을 모델링하여 시각화하기 위해 사전에 분석한 패턴을 정의하고, 알고리즘을 만들어 복잡한 형태의 물체를 자동으로 생성하게 하는 모델링 방법이다.

엄청난 작업 같지만 우리도 직접 해 볼 수 있다. 아래의 분석된 나뭇가지의 세 가지 형상과 성장 과정을 적용하여 나무 성장 과정의 알고리즘을 직접 만들어 보자.

단계별 가지의 변화 과정을 그림으로 그려 보면 다음과 같이 진행될 것이다.

그러나 그림을 계속 그려 보면서 나뭇가지의 수 변화를 셀 수는 없기에 단계별 결과를 표로 정리하여 가지의 성장에 따라 늘어나는 가지의 수의 관계를 찾아 알고리즘으로 정리하면 〈표1〉과 같다.

이렇게 L-시스템 알고리즘을 이용하면 아래와 같은 복잡한 나무도 쉽게 구현해 낼 수 있다.

프랙털의 활용② 경제와 프랙털

주식시장에서 종종 ‘프랙털 작용을 보인다’라는 말을 사용한다. 수학과 공학뿐만 아니라 경제에서도 프랙털이 있는 것이다. 사실 주가의 변화는 그래프에서도 볼 수 있듯이 굉장히 불규칙적이고 예측하기 힘들다. 주가는 시간에 따라 변화하는 것도 아니며, 심리변수와 같이 확률이 작용하는 수많은 변수들이 동시다발적으로 작용하기 때문이다.

그러나 주가 변화 그래프를 자세히 들여다보면 통계적으로 ‘자기 유사성’의 특징을 보이고 있는 것을 발견할 수 있다. 하루 동안의 변화 상태와 한 달 동안의 변화 상태를 비교했을 때 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화하고 있다는 말이다. 시간단위가 달라도 변화 상태가 유사하다는 것은 주가의 변동이 시간에 관해서 프랙털적임을 의미한다.

프랙털 구조를 발견함으로써 엄청난 카오스 상태에서의 어떠한 규칙을 발견하고, 이를 통해 예측 가능한 패턴을 찾게 된다. 예를 들어 한 달 동안 변동된 주가의 움직임을 통해 앞으로 5% 정도의 주가 변화가 있을 거라는 예측과 같은 것이다.

프랙털의 활용③ 의학에서의 프랙털

심장에 있는 혈관도 프랙털 구조이다. 심장 외에도 DNA나 동물의 허파 등 생물의 몸속에는 프랙털 구조가 많다. 따라서 의학에서의 프랙털 연구가 활발히 이루어지고 있다. 주로 의료기술로 치료하기 어려운 분야에서 연구가 되고 있는데, 가장 대표적인 예는 신경퇴행성 질환 중 하나인 파킨슨병의 조기 진단을 판정하는 데 사용되는 것이다. 파킨슨병의 대표적인 증상은 걸을 때 보폭이 일정하지 않고 속도가 일정하지 않다는 점이다. 파킨슨병을 앓고 있는 환자들의 걸음걸이를 분석한 결과 몇 분간의 걸음걸이 패턴과 하루의 걸음걸이 패턴의 양상이 유사하다는 프랙털 패턴을 발견했다. 이는 파킨슨병의 조기진단과 치료에 활발히 활용되고 있다.

이 밖에도 치매와 같이 해법을 찾을 수 없다고 여긴 영역에서도 프랙털을 이용한 치료법을 찾기 위한 연구가 진행 중이며 장비로도 촬영 불가능한 종양들을 세포의 프랙털 차원을 고려하여 찾아내기도 한다. 의학에서의 프랙털 연구는 현재뿐만 아니라 미래의 의학에서도 큰 역할을 할 것이다.⊙

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